Demostraciones y ejercicios en teoría de conjuntos elemental

1) Demuestre $A \subseteq B \iff \wp(A) \in \wp(B)$

Demostración 

Por definición $A \in \wp(A) \wedge B \in \wp(B)$ 

Si $A \subseteq B$ 

$\Rightarrow A \subseteq B \in \wp(B)$ 

$\Rightarrow A \in \wp(B)$ 

Sea $A_{k} \subseteq A$ 

$\Rightarrow A_{k} \in \wp(B)$ 

$\Rightarrow \wp(A) \subseteq \wp(B)$ 

Ahora bien,

si $\wp(A) \subseteq \wp(B)$ 

$\Rightarrow A \in \wp(A) \subseteq \wp(B)$ 

$\Rightarrow A \in \wp(B)$ 

$\Rightarrow A\subseteq B$ 

2) Sean $(A \wedge B) \in \wp(E)$ 

Demuestre $\wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B) \Rightarrow (A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)$  

Demostración 

Por la contrapositiva 

$\neg [(A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)] \Rightarrow \neg [\wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B)]$ 

$\neg [(A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)] \Rightarrow [\wp(A) \cup \wp(B) \not = \wp(A \cup B)]$ 

$(A \not \subseteq B) \wedge (B \not \subseteq A) \Rightarrow [\wp(A) \cup \wp(B) \not = \wp(A \cup B)]$ 

$\Rightarrow \exists a,b (\{a, b\} \not \in \wp(A) \cup \wp(B)  \wedge \{a, b\} \in \wp(A \cup B))$ 

$\Rightarrow \wp(A) \cup \wp(B) \not = \wp(A \cup B)$ 

$\therefore \neg [(A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)] \Rightarrow \neg [\wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B)]$ 

$\therefore \wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B) \Rightarrow (A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)$ 

3)Sea $\{E_{i}: i \in I \}$ una familia de subconjuntos de $E$, donde $E, I$ son conjuntos.

Demuestre que: 

a-) $\wp(\bigcap_{i \in I} E_{i}) = \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

b-) $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ y, en general, la igualdad no se cumple. 

Solución 

a-) 

Sea $A \in \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

$\Rightarrow A \in \wp(E_{i}) \forall i \in I$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \forall i \in I$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \subseteq \bigcap_{i \in I} E_{i}$

$\Rightarrow A \in \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i})$

$\Rightarrow \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i})$ 

Análogamente 

Sea $A \in \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \subseteq \bigcap_{i \in I} E_{i}$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \forall i \in I$

$\Rightarrow A \in \wp(E_{i}) \forall i \in I$

$\Rightarrow A \in \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

$\Rightarrow \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i}) \subseteq \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

$\therefore \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i}) = \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

b-) 

b.1-) 

Sea $A \in \bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i})$ 

$\Rightarrow \exists i (A \in \wp(E_{i}) \wedge A \subseteq E_{i})$ 

$\Rightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} E_{i}$ 

$\Rightarrow A \in \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

$\therefore \bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

b.2-) 

En virtud de lo anterior, $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

Entonces por hipótesis, 

debe haber al menos un caso en el que $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \not \supseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

Considérese el caso en el que $\exists a, b, i, j (a \in E_{i} \wedge a \not \in E_{j} \wedge b \not \in E_{i} \wedge b \in E_{j})$ 

Para dicho caso, $\{a, b\} \not \in \bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \wedge \{a, b\} \in \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

Nota: $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \supseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i}) \iff \exists j \forall i (E_{i} \subseteq E_{j})$ 

4) Demuestre que $\forall D \in \wp(E), (D \subseteq A) \wedge (D \subseteq B) \Leftrightarrow D \subseteq A \cap B$ 

Solución 

Parta de $D \subseteq A \cap B$ 

Recuerde que $(A \cap B \subseteq A) \wedge (A \cap B \subseteq B)$ 

$\Rightarrow (D \subseteq A \cap B \subseteq A) \wedge (D \subseteq A \cap B \subseteq B)$ 

$\Rightarrow (D \subseteq A) \wedge (D \subseteq B)$

Para $(D \subseteq A) \wedge (D \subset B) \Rightarrow D \subseteq A \cap B$ 

Por la contrapositiva 

$\neg [D \subseteq A \cap B] \Rightarrow \neg [(D \subseteq A) \wedge (D \subseteq B)]$ 

$D \not \subseteq A \cap B \Rightarrow (D \not \subseteq A) \vee (D \not \subseteq B)$ 

$D \not \subseteq A \cap B$ 

$\Rightarrow (D \not \subseteq A \cap B \subseteq A) \wedge (D \not \subseteq A \cap B \subseteq B)$ 

$\Rightarrow (D \not \subseteq A) \wedge (D \not \subseteq B)$ 

5) Si $A \subseteq E \wedge B \subseteq E$, $A \subseteq B \Leftrightarrow \complement_{E}B \subseteq \complement_{E}A$ 

Solución 

Sea $A \subset B$ 

$\Rightarrow \exists x (x \in B: x \not \in A)$ 

Sea $x_{1} (x_{1} \in B: x_{1} \not \in A)$ 

$\Rightarrow x_{1} \in \complement_{E}A \wedge x_{1} \not \in \complement_{E}B$

$\Rightarrow \complement_{E}B \subseteq \complement_{E}A$ 

Para el recíproco 

$\complement_{E}B \subseteq \complement_{E}A \Rightarrow A \subseteq B$

$\Rightarrow \exists \omega (\omega \in \complement_{E}A: \omega \not \in \complement_{E}B)$

Sea $\omega_{1} (\omega_{1} \in \complement_{E}A: \omega_{1} \not \in \complement_{E}B)$

$\Rightarrow \omega_{1} \in \complement_{E}(\complement_{E}B) \wedge \omega_{1} \not \in \complement_{E}(\complement_{E}A)$ 

$\Rightarrow \omega_{1} \in B \wedge \omega_{1} \not \in A$

$\Rightarrow A \subseteq B$

6) Demuestre que $A \subset B \Leftrightarrow A - B = \emptyset$ 

Solución 

Considere $A \subset B \Rightarrow A - B = \emptyset$ 

Por la contrapositiva 

$A - B \not = \emptyset \Rightarrow A \subset B$ 

Como $A - B \not = \emptyset \Rightarrow x \in A - B$ 

$\Rightarrow x \in A \wedge x \not \in B$ 

$\Rightarrow A \subset B$ 

Considere $A - B = \emptyset \Rightarrow A \subset B$ 

Asuma $A \not \subset B$ y $A - B = \emptyset$ 

$\Rightarrow \exists x (x \in A : x \not \in B)$ 

$\Rightarrow A - B \not = \emptyset$ 

$\Rightarrow \Leftarrow$ 

$\therefore A - B = \emptyset \Rightarrow A \subset B$ 

7) Con $A \subseteq E \wedge B \subseteq E$, demuestre que $A - B = A \cap \complement_{E}B$ 

Solución 

Considere $A - B \not = \emptyset$ 

Sea $x \in A - B$, es decir $x \in A \wedge x \not \in B$ 

Como $x \not \in B$ 

$\Rightarrow x \in \complement_{E}B$ 

Como  $x \in A$ 

$\Rightarrow x \in A \cap \complement_{E}B$ 

Considere $A - B = \emptyset$, es decir $A \subset B$ 

$\Rightarrow \exists \omega (\omega \in B \wedge \omega \not \in A)$ 

$\Rightarrow \omega \not \in \complement_{E}B \wedge \omega \not \in A$ 

$\Rightarrow A \cap \complement_{E}B = \emptyset$ 

8) Muestre que $A - (A - B) = (A \cap B)$ 

Solución 

Observe dos casos 

(1) $A - B = \emptyset$ 

(2) $A - B \not = \emptyset$ 

Considere (1) 

$\Rightarrow \exists Z (Z \not \subseteq A \wedge Z \subseteq B)$ 

$\Rightarrow Z \not \subseteq A - B \wedge Z \not \subseteq A \cap B$ 

$\Rightarrow A \not \subseteq A - (A - B)$ 

Considere (2) 

$\Rightarrow \exists Z (Z \subseteq A \wedge Z \not \subseteq B)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A - B \wedge Z \not \subseteq A \cap B$ 

$\Rightarrow Z \not \subseteq A - (A - B)$ 

9) Muestre que $A \cap (B - C) = (A \cap B) - (A \cap C)$ 

Solución 

Sea  $Z \subseteq A \cap (B - C)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \wedge Z \subseteq B - C$ 

$\Rightarrow Z \subseteq B \wedge Z \not \subseteq C$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \cap B \wedge Z \not \subseteq A \cap C$ 

$\Rightarrow Z \subseteq (A \cap B) - (A \cap C)$ 

$\Rightarrow A \cap (B - C) \subseteq (A \cap B) - (A \cap C)$ 

Considérese ahora $Z \subseteq (A \cap B) - (A \cap C)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq (A \cap B) \wedge Z \not \subseteq (A \cap C)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \wedge Z \subseteq B \wedge Z \not \subseteq C$ 

$\Rightarrow Z \subseteq B - C$ 

$\Rightarrow \subseteq A \cap (B - C)$ 

$\Rightarrow (A \cap B) - ( A \cap C) \subseteq A \cap (B - C)$ 

$\therefore A \cap (B - C) = (A \cap B) - (A \cap C)$ 

10) Halle $\complement_{E}[((\complement_{E}A) \cup B) \cap (C \cup \complement_{E}D)]$ 

Solución 

Por De Morgan 

$= \complement_{E}((\complement_{E}A) \cup) \cup \complement_{E}(C \cup \complement_{E}D)$ 

Por De Morgan 

$= (\complement_{E}(\complement_{E}A) \cap \complement_{E}B) \cup (\complement_{E}C \cap \complement_{E}(\complement_{E}D))$ 

$= (A \cap \complement_{E}B) \cup (\complement_{E}C \cap D)$ 

$= (A - B) \cup (D - C)$ 

11) Sean $A, B \in \wp(E)$ 

Demuestre que $A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$ 

Solución 

$(A \cup B) - (A \cap B)$ 

$\Rightarrow (A \cup B) \cap \complement_{E}(A \cap B)$ 

Por De Morgan 

$\Rightarrow (A \cup B) \cap (\complement_{E}A \cup \complement_{E}B)$ 

Por ley distributiva 

$\Rightarrow [(A \cup B) \cap \complement_{E}A] \cup [(A \cup B) \cap \complement_{E}B]$ 

Por ley distributiva 

$\Rightarrow (A \cap \complement_{E}A) \cup (B \cap \complement_{E}A) \cup (A \cap \complement_{E}B) \cup (B \cap \complement_{E}B)$ 

$\emptyset \cup (B \cap \complement_{E}A) \cup (A \cap \complement_{E}B) \cup \emptyset$ 

$\Rightarrow (B \cap \complement_{E}A) \cup (A \cap \complement_{E}B)$ 

$\Rightarrow (B - A) \cup (A - B)$ 

$\Rightarrow A \Delta B$ 

12) Muestre que $(A \Delta B) \cap C = (A \cap C) \Delta (B \cap C)$ 

Solución 

$\Rightarrow ((A - B) \cup (B - A)) \cap C$ 

Por ley distributiva 

$\Rightarrow (C \cap (A - B)) \cup ( C \cap (B - A))$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) - (C \cap B)] \cup [(C \cap B) - (C \cap A)]$ 

$\Rightarrow (A \cap C) \Delta (B \cap C)$ 

13) Muestre que $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ 

Solución 

Tome $A \times (B \cup C)$ 

Sea $a \in A, b \in B, c \in C$ 

Observe $b, c \in B \cup C$ 

$\Rightarrow \forall k \in A \times (B \cup C) [k = (a, b) \veebar (a, c)]$ 

Ahora tome $(A \times B) \cup (A \times C)$ 

$A \times B = \{(a, b)\} \wedge A \times C = \{a, c\}$ 

$\Rightarrow \forall k \in (A \times B) \cup (A \times C) [k = (a, b) \veebar (a, c)]$ 

$\therefore A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ 

14) Sea $E$ un conjunto y sean $A, B, C$ en $\wp(E)$.

Demuestre que $(A \Delta B) - (A \Delta C) = ((A \cap C) - B) \cup (B - (A \cup C))$ 

Solución 

Considere $(A \Delta B) - (A \Delta C)$ 

$\Rightarrow [(A - B) \cup (B - A)] - [(A - C) \cup (C - A)]$ 

Por De Morgan, involución y De Morgan 

$\Rightarrow [(A \cap \complement_{E}B) \cup (B \cap \complement_{E}A)] \cap [(\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}C \cup A)]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [(\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}C \cup A)] \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}C \cup A) \cap B \cap \complement_{E}A]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [((A \cap \complement_{E}A) \cup (C \cap A)) \cap (\complement_{E}C \cup A) \cap \complement_{E}B] \cup [((\complement_{E}A \cap A) \cup (\complement_{E}A \cap \complement_{E}C)) \cap (\complement_{E}A \cup C) \cap B]$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) \cap (\complement_{E}C \cup A) \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}A \cap \complement_{E}C) \cap (\complement_{E}A \cup C) \cap B]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [((C \cap \complement_{E}C) \cup (C \cap A)) \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}C \cap C) \cup (\complement_{E}C \cap \complement_{E}A) \cup \complement_{E}A \cap B]$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}C \cap \complement_{E}A) \cap \complement_{E}A \cap B]$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) - B] \cup [( \complement_{E}C \cap \complement_{E}A) \cap B]$ 

Por De Morgan 

$\Rightarrow [(A \cap C) - B] \cup [B \cap \complement_{E}(A \cup C)]$ 

$\Rightarrow [(A \cap C) - B] \cup [B - (A \cup C)]$ 

15) Demuestre que para cualesquiera tres conjuntos, no vacíos, $A, B$ y $C$, se cumple $A \subseteq B \Rightarrow [C - A \not = \emptyset \veebar A \cap B = A \cup C]$ 

Solución 

Suponga $Z \subseteq A$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \subseteq B$ 

$\Rightarrow Z \subseteq B$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \cap B$ 

Observe dos casos, $C - A \not = \emptyset \veebar C - A = \emptyset$ 

Si $C - A = \emptyset$ 

$\Rightarrow C \subset A$ 

$\Rightarrow Z \subseteq C \vee C \subseteq Z$ 

$\Rightarrow A \cap B = A \cap C$ 

Si $C - A \not = \emptyset$ 

$\Rightarrow C \supset A$ 

$\Rightarrow A \cap B \not = A \cup C$ 

$\therefore A \subseteq B \Rightarrow [C - A \not = \emptyset \veebar A \cap B = A \cup C]$ 

16) Si $A, B$ y $D$ están en $\wp(E)$, demuestre que $(A \Delta B) - D = (A \cup D) \Delta (B \cup D)$ 

Solución 

Parta de $(A \cup D) \Delta (B \cup D)$ 

$\Rightarrow [(A \cup D) - (B \cup D)] \cup [(B \cup D) - (A \cup D)]$ 

$\Rightarrow [(A \cup D) \cap \complement_{E}(B \cup D)] \cup [(B \cup D) \cap \complement_{E}(A \cup D)]$ 

Por De Morgan 

$\Rightarrow [(A \cup D) \cap (\complement_{E}B \cap \complement_{E}D)] \cup [(B \cup D) \cap (\complement_{E}A \cap \complement_{E}D)]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [((\complement_{E}D \cap D) \cup (\complement_{E}D \cap A)) \cap \complement_{E}B] \cup [((\complement_{E}D \cap D) \cup (\complement_{E}D \cap B)) \cap \complement_{E}A]$ 

$\Rightarrow [\complement_{E}D \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [\complement_{E}D \cap B \cap \complement_{E}A]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow \complement_{E}D \cap [(A - B) \cup (B - A)]$ 

$\Rightarrow A \Delta B -D$ 

17) Sean $A, B$ y $C$ tres subconjuntos, no vacíos, de un conjunto E.

Muestre que si $(A \times B) \cup (B \times A) = C \times C \Rightarrow A = B = C$ 

Solución 

Asuma que $\exists a, b, c (a \in A, b \in B, c \in C : a \not = b \not = c)$ 

$\Rightarrow A \times B = \{(a, b)\} \wedge B \times A = \{(b, a)\} \wedge C \times C = \{(c, c)\}$ 

$\Rightarrow (A \times B) \cup (B \times A) = \{(a, b), (b, a)\}$ 

Por hipótesis 

$\{(a, b), (b, a)\} = \{(c, c)\}$ 

Por definición de producto cartesiano 

$\Rightarrow a = b = c$ 

$\Rightarrow \Leftarrow$ 

$\Rightarrow \forall a, b, c (a \in A, b \in B, c \in C : a = b = c)$ 

$\therefore (A \times B) \cup (B \times A) = C \times C \Rightarrow A = B = C$