Demostraciones y ejercicios en teoría de conjuntos elemental

1) Demuestre $A \subseteq B \iff \wp(A) \in \wp(B)$

Demostración 

Por definición $A \in \wp(A) \wedge B \in \wp(B)$ 

Si $A \subseteq B$ 

$\Rightarrow A \subseteq B \in \wp(B)$ 

$\Rightarrow A \in \wp(B)$ 

Sea $A_{k} \subseteq A$ 

$\Rightarrow A_{k} \in \wp(B)$ 

$\Rightarrow \wp(A) \subseteq \wp(B)$ 

Ahora bien,

si $\wp(A) \subseteq \wp(B)$ 

$\Rightarrow A \in \wp(A) \subseteq \wp(B)$ 

$\Rightarrow A \in \wp(B)$ 

$\Rightarrow A\subseteq B$ 

2) Sean $(A \wedge B) \in \wp(E)$ 

Demuestre $\wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B) \Rightarrow (A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)$  

Demostración 

Por la contrapositiva 

$\neg [(A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)] \Rightarrow \neg [\wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B)]$ 

$\neg [(A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)] \Rightarrow [\wp(A) \cup \wp(B) \not = \wp(A \cup B)]$ 

$(A \not \subseteq B) \wedge (B \not \subseteq A) \Rightarrow [\wp(A) \cup \wp(B) \not = \wp(A \cup B)]$ 

$\Rightarrow \exists a,b (\{a, b\} \not \in \wp(A) \cup \wp(B)  \wedge \{a, b\} \in \wp(A \cup B))$ 

$\Rightarrow \wp(A) \cup \wp(B) \not = \wp(A \cup B)$ 

$\therefore \neg [(A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)] \Rightarrow \neg [\wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B)] $ 

$\therefore \wp(A) \cup \wp(B) = \wp(A \cup B) \Rightarrow (A \subseteq B) \vee (B \subseteq A)$ 

3)Sea $\{E_{i}: i \in I \}$ una familia de subconjuntos de $E$, donde $E, I$ son conjuntos.

Demuestre que: 

a-) $\wp(\bigcap_{i \in I} E_{i}) = \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

b-) $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ y, en general, la igualdad no se cumple. 

Solución 

a-) 

Sea $A \in \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

$\Rightarrow A \in \wp(E_{i}) \forall i \in I$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \forall i \in I$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \subseteq \bigcap_{i \in I} E_{i}$

$\Rightarrow A \in \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i})$

$\Rightarrow \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i})$ 

Análogamente 

Sea $A \in \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \subseteq \bigcap_{i \in I} E_{i}$

$\Rightarrow A \subseteq E_{i} \forall i \in I$

$\Rightarrow A \in \wp(E_{i}) \forall i \in I$

$\Rightarrow A \in \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

$\Rightarrow \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i}) \subseteq \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i}) $ 

$\therefore \wp(\bigcap_{i \in I} E_{i}) = \bigcap_{i \in I} \wp(E_{i})$ 

b-) 

b.1-) 

Sea $A \in \bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i})$ 

$\Rightarrow \exists i (A \in \wp(E_{i}) \wedge A \subseteq E_{i})$ 

$\Rightarrow A \subseteq \bigcup_{i \in I} E_{i}$ 

$\Rightarrow A \in \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

$\therefore \bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

b.2-) 

En virtud de lo anterior, $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \subseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

Entonces por hipótesis, 

debe haber al menos un caso en el que $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \not \supseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

Considérese el caso en el que $\exists a, b, i, j (a \in E_{i} \wedge a \not \in E_{j} \wedge b \not \in E_{i} \wedge b \in E_{j})$ 

Para dicho caso, $\{a, b\} \not \in \bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \wedge \{a, b\} \in \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i})$ 

Nota: $\bigcup_{i \in I}  \wp(E_{i}) \supseteq \wp(\bigcup_{i \in I} E_{i}) \iff \exists j \forall i (E_{i} \subseteq E_{j})$ 

4) Demuestre que $\forall D \in \wp(E), (D \subseteq A) \wedge (D \subseteq B) \Leftrightarrow D \subseteq A \cap B$ 

Solución 

Parta de $D \subseteq A \cap B$ 

Recuerde que $(A \cap B \subseteq A) \wedge (A \cap B \subseteq B)$ 

$\Rightarrow (D \subseteq A \cap B \subseteq A) \wedge (D \subseteq A \cap B \subseteq B)$ 

$\Rightarrow (D \subseteq A) \wedge (D \subseteq B)$

Para $(D \subseteq A) \wedge (D \subset B) \Rightarrow D \subseteq A \cap B$ 

Por la contrapositiva 

$\neg [D \subseteq A \cap B] \Rightarrow \neg [(D \subseteq A) \wedge (D \subseteq B)]$ 

$D \not \subseteq A \cap B \Rightarrow (D \not \subseteq A) \vee (D \not \subseteq B)$ 

$D \not \subseteq A \cap B$ 

$\Rightarrow (D \not \subseteq A \cap B \subseteq A) \wedge (D \not \subseteq A \cap B \subseteq B)$ 

$\Rightarrow (D \not \subseteq A) \wedge (D \not \subseteq B)$ 

5) Si $A \subseteq E \wedge B \subseteq E$, $A \subseteq B \Leftrightarrow \complement_{E}B \subseteq \complement_{E}A$ 

Solución 

Sea $A \subset B$ 

$\Rightarrow \exists x (x \in B: x \not \in A)$ 

Sea $x_{1} (x_{1} \in B: x_{1} \not \in A)$ 

$\Rightarrow x_{1} \in \complement_{E}A \wedge x_{1} \not \in \complement_{E}B$

$\Rightarrow \complement_{E}B \subseteq \complement_{E}A$ 

Para el recíproco 

$\complement_{E}B \subseteq \complement_{E}A \Rightarrow A \subseteq B$

$\Rightarrow \exists \omega (\omega \in \complement_{E}A: \omega \not \in \complement_{E}B)$

Sea $\omega_{1} (\omega_{1} \in \complement_{E}A: \omega_{1} \not \in \complement_{E}B)$

$\Rightarrow \omega_{1} \in \complement_{E}(\complement_{E}B) \wedge \omega_{1} \not \in \complement_{E}(\complement_{E}A)$ 

$\Rightarrow \omega_{1} \in B \wedge \omega_{1} \not \in A$

$\Rightarrow A \subseteq B$

6) Demuestre que $A \subset B \Leftrightarrow A - B = \emptyset$ 

Solución 

Considere $A \subset B \Rightarrow A - B = \emptyset$ 

Por la contrapositiva 

$A - B \not = \emptyset \Rightarrow A \subset B$ 

Como $A - B \not = \emptyset \Rightarrow x \in A - B$ 

$\Rightarrow x \in A \wedge x \not \in B$ 

$\Rightarrow A \subset B$ 

Considere $ A - B = \emptyset \Rightarrow A \subset B$ 

Asuma $A \not \subset B$ y $A - B = \emptyset$ 

$\Rightarrow \exists x (x \in A : x \not \in B)$ 

$\Rightarrow A - B \not = \emptyset$ 

$\Rightarrow \Leftarrow$ 

$\therefore A - B = \emptyset \Rightarrow A \subset B$ 

7) Con $ A \subseteq E \wedge B \subseteq E$, demuestre que $ A - B = A \cap \complement_{E}B$ 

Solución 

Considere $A - B \not = \emptyset$ 

Sea $x \in A - B$, es decir $x \in A \wedge x \not \in B$ 

Como $x \not \in B$ 

$\Rightarrow x \in \complement_{E}B$ 

Como  $x \in A$ 

$\Rightarrow x \in A \cap \complement_{E}B$ 

Considere $A - B = \emptyset$, es decir $A \subset B$ 

$\Rightarrow \exists \omega (\omega \in B \wedge \omega \not \in A)$ 

$\Rightarrow \omega \not \in \complement_{E}B \wedge \omega \not \in A$ 

$\Rightarrow A \cap \complement_{E}B = \emptyset$ 

8) Muestre que $A - (A - B) = (A \cap B)$ 

Solución 

Observe dos casos 

(1) $A - B = \emptyset$ 

(2) $A - B \not = \emptyset$ 

Considere (1) 

$\Rightarrow \exists Z (Z \not \subseteq A \wedge Z \subseteq B)$ 

$\Rightarrow Z \not \subseteq A - B \wedge Z \not \subseteq A \cap B$ 

$\Rightarrow A \not \subseteq A - (A - B)$ 

Considere (2) 

$\Rightarrow \exists Z (Z \subseteq A \wedge Z \not \subseteq B)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A - B \wedge Z \not \subseteq A \cap B$ 

$\Rightarrow Z \not \subseteq A - (A - B)$ 

9) Muestre que $A \cap (B - C) = (A \cap B) - (A \cap C)$ 

Solución 

Sea  $Z \subseteq A \cap (B - C)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \wedge Z \subseteq B - C$ 

$\Rightarrow Z \subseteq B \wedge Z \not \subseteq C$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \cap B \wedge Z \not \subseteq A \cap C$ 

$ \Rightarrow Z \subseteq (A \cap B) - (A \cap C)$ 

$ \Rightarrow A \cap (B - C) \subseteq (A \cap B) - (A \cap C)$ 

Considérese ahora $Z \subseteq (A \cap B) - (A \cap C)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq (A \cap B) \wedge Z \not \subseteq (A \cap C)$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \wedge Z \subseteq B \wedge Z \not \subseteq C$ 

$ \Rightarrow Z \subseteq B - C$ 

$\Rightarrow \subseteq A \cap (B - C)$ 

$ \Rightarrow (A \cap B) - ( A \cap C) \subseteq A \cap (B - C)$ 

$\therefore A \cap (B - C) = (A \cap B) - (A \cap C)$ 

10) Halle $\complement_{E}[((\complement_{E}A) \cup B) \cap (C \cup \complement_{E}D)]$ 

Solución 

Por De Morgan 

$= \complement_{E}((\complement_{E}A) \cup) \cup \complement_{E}(C \cup \complement_{E}D)$ 

Por De Morgan 

$= (\complement_{E}(\complement_{E}A) \cap \complement_{E}B) \cup (\complement_{E}C \cap \complement_{E}(\complement_{E}D))$ 

$= (A \cap \complement_{E}B) \cup (\complement_{E}C \cap D)$ 

$= (A - B) \cup (D - C)$ 

11) Sean $ A, B \in \wp(E)$ 

Demuestre que $A \Delta B = (A \cup B) - (A \cap B)$ 

Solución 

$(A \cup B) - (A \cap B)$ 

$\Rightarrow (A \cup B) \cap \complement_{E}(A \cap B)$ 

Por De Morgan 

$\Rightarrow (A \cup B) \cap (\complement_{E}A \cup \complement_{E}B)$ 

Por ley distributiva 

$\Rightarrow [(A \cup B) \cap \complement_{E}A] \cup [(A \cup B) \cap \complement_{E}B]$ 

Por ley distributiva 

$\Rightarrow (A \cap \complement_{E}A) \cup (B \cap \complement_{E}A) \cup (A \cap \complement_{E}B) \cup (B \cap \complement_{E}B)$ 

$\emptyset \cup (B \cap \complement_{E}A) \cup (A \cap \complement_{E}B) \cup \emptyset$ 

$\Rightarrow (B \cap \complement_{E}A) \cup (A \cap \complement_{E}B)$ 

$\Rightarrow (B - A) \cup (A - B)$ 

$\Rightarrow A \Delta B$ 

12) Muestre que $(A \Delta B) \cap C = (A \cap C) \Delta (B \cap C)$ 

Solución 

$\Rightarrow ((A - B) \cup (B - A)) \cap C$ 

Por ley distributiva 

$\Rightarrow (C \cap (A - B)) \cup ( C \cap (B - A))$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) - (C \cap B)] \cup [(C \cap B) - (C \cap A)]$ 

$\Rightarrow (A \cap C) \Delta (B \cap C)$ 

13) Muestre que $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C) $ 

Solución 

Tome $A \times (B \cup C)$ 

Sea $ a \in A, b \in B, c \in C$ 

Observe $b, c \in B \cup C$ 

$\Rightarrow \forall k \in A \times (B \cup C) [k = (a, b) \veebar (a, c)]$ 

Ahora tome $(A \times B) \cup (A \times C)$ 

$A \times B = \{(a, b)\} \wedge A \times C = \{a, c\}$ 

$\Rightarrow \forall k \in (A \times B) \cup (A \times C) [k = (a, b) \veebar (a, c)]$ 

$\therefore A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ 

14) Sea $E$ un conjunto y sean $A, B, C$ en $\wp(E)$.

Demuestre que $(A \Delta B) - (A \Delta C) = ((A \cap C) - B) \cup (B - (A \cup C))$ 

Solución 

Considere $(A \Delta B) - (A \Delta C)$ 

$\Rightarrow [(A - B) \cup (B - A)] - [(A - C) \cup (C - A)]$ 

Por De Morgan, involución y De Morgan 

$\Rightarrow [(A \cap \complement_{E}B) \cup (B \cap \complement_{E}A)] \cap [(\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}C \cup A)]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [(\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}C \cup A)] \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}A \cup C) \cap (\complement_{E}C \cup A) \cap B \cap \complement_{E}A]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [((A \cap \complement_{E}A) \cup (C \cap A)) \cap (\complement_{E}C \cup A) \cap \complement_{E}B] \cup [((\complement_{E}A \cap A) \cup (\complement_{E}A \cap \complement_{E}C)) \cap (\complement_{E}A \cup C) \cap B]$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) \cap (\complement_{E}C \cup A) \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}A \cap \complement_{E}C) \cap (\complement_{E}A \cup C) \cap B]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [((C \cap \complement_{E}C) \cup (C \cap A)) \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}C \cap C) \cup (\complement_{E}C \cap \complement_{E}A) \cup \complement_{E}A \cap B]$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [(\complement_{E}C \cap \complement_{E}A) \cap \complement_{E}A \cap B]$ 

$\Rightarrow [(C \cap A) - B] \cup [( \complement_{E}C \cap \complement_{E}A) \cap B]$ 

Por De Morgan 

$\Rightarrow [(A \cap C) - B] \cup [B \cap \complement_{E}(A \cup C)]$ 

$\Rightarrow [(A \cap C) - B] \cup [B - (A \cup C)]$ 

15) Demuestre que para cualesquiera tres conjuntos, no vacíos, $A, B$ y $C$, se cumple $A \subseteq B \Rightarrow [C - A \not = \emptyset \veebar A \cap B = A \cup C]$ 

Solución 

Suponga $Z \subseteq A$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \subseteq B$ 

$\Rightarrow Z \subseteq B$ 

$\Rightarrow Z \subseteq A \cap B$ 

Observe dos casos, $C - A \not = \emptyset \veebar C - A = \emptyset$ 

Si $C - A = \emptyset$ 

$\Rightarrow C \subset A$ 

$\Rightarrow Z \subseteq C \vee C \subseteq Z$ 

$\Rightarrow A \cap B = A \cap C$ 

Si $C - A \not = \emptyset$ 

$\Rightarrow C \supset A$ 

$\Rightarrow A \cap B \not = A \cup C$ 

$\therefore A \subseteq B \Rightarrow [C - A \not = \emptyset \veebar A \cap B = A \cup C]$ 

16) Si $A, B$ y $D$ están en $\wp(E)$, demuestre que $(A \Delta B) - D = (A \cup D) \Delta (B \cup D)$ 

Solución 

Parta de $(A \cup D) \Delta (B \cup D)$ 

$\Rightarrow [(A \cup D) - (B \cup D)] \cup [(B \cup D) - (A \cup D)]$ 

$\Rightarrow [(A \cup D) \cap \complement_{E}(B \cup D)] \cup [(B \cup D) \cap \complement_{E}(A \cup D)] $ 

Por De Morgan 

$ \Rightarrow [(A \cup D) \cap (\complement_{E}B \cap \complement_{E}D)] \cup [(B \cup D) \cap (\complement_{E}A \cap \complement_{E}D)]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow [((\complement_{E}D \cap D) \cup (\complement_{E}D \cap A)) \cap \complement_{E}B] \cup [((\complement_{E}D \cap D) \cup (\complement_{E}D \cap B)) \cap \complement_{E}A]$ 

$\Rightarrow [\complement_{E}D \cap A \cap \complement_{E}B] \cup [\complement_{E}D \cap B \cap \complement_{E}A]$ 

Por distributiva 

$\Rightarrow \complement_{E}D \cap [(A - B) \cup (B - A)]$ 

$\Rightarrow A \Delta B -D$ 

17) Sean $A, B$ y $C$ tres subconjuntos, no vacíos, de un conjunto E.

Muestre que si $(A \times B) \cup (B \times A) = C \times C \Rightarrow A = B = C$ 

Solución 

Asuma que $\exists a, b, c (a \in A, b \in B, c \in C : a \not = b \not = c)$ 

$\Rightarrow A \times B = \{(a, b)\} \wedge B \times A = \{(b, a)\} \wedge C \times C = \{(c, c)\}$ 

$\Rightarrow (A \times B) \cup (B \times A) = \{(a, b), (b, a)\}$ 

Por hipótesis 

$\{(a, b), (b, a)\} = \{(c, c)\}$ 

Por definición de producto cartesiano 

$\Rightarrow a = b = c$ 

$ \Rightarrow \Leftarrow$ 

$\Rightarrow \forall a, b, c (a \in A, b \in B, c \in C : a = b = c)$ 

$\therefore (A \times B) \cup (B \times A) = C \times C \Rightarrow A = B = C$ 

Demuestre A ⊆ B ⇐⇒ ℘(A) ⊆ ℘(B)

Demuestre A ⊆ B ⇐⇒ ℘(A) ⊆ ℘(B) 

Demostración 

Por definición A ⊆ ℘(A) ∧ B ⊆ ℘(B)

Si A ⊆ B⇒ A ⊆ B ⊆ ℘(B)

⇒ A ⊆ ℘(B) 

SeaAk ⊆A
⇒Ak ⊆℘(B)

⇒ ℘(A) ⊆ ℘(B)

Ahora bien, si ℘(A) ⊆ ℘(B) 

⇒ A ⊆ ℘(A) ⊆ ℘(B)
⇒ A ⊆ ℘(B)
⇒A⊆B

Tackling Chemical Equations with Multiple Balancing Solutions

In rare cases the reader may find chemical equations that can be balanced in multiple ways, providing several possibilities for the coefficients, without considering multiples of other solutions.

For instance, take the following equation.

$$a*CrC{l}_3+b*KI+c*C{l}_2+d*KOH\to e*K_{2}Cr{O}_4+f*KI{O}_4+g*KC{l}_3+h*H_{2}O$$

With some iterations, the following solutions might be found.

$$2*CrC{l}_3+2*KI+11*C{l}_2+32*KOH\to 2*K_{2}Cr{O}_4+2*KI{O}_4+28*KC{l}_3+16*H_{2}O$$ $$8*CrC{l}_3+3*KI+24*C{l}_2+88*KOH\to 8*K_{2}Cr{O}_4+3*KI{O}_4+72*KC{l}_3+44*H_{2}O$$

Both are mathematically correct. Are they chemically correct? First, we will explore why there are two possible answers. By transforming the chemical equation into a linear system, one equation is obtained per each chemical element and the coefficients a ,b...h  defined as variables.

$$$$$$\mathrm{Cr:\; a}=e$$
$$\mathrm{Cl:\; 3}a+2c=g$$
$$\mathrm{K:\; b}+d=2e+f+g$$
$$\mathrm{I:\; b}=f$$
$$\mathrm{O:\; d}=4e+4f+h$$
$$\mathrm{H:\; d}=2h$$
$$\mathrm{<br>}$$

Be noticed that the amount  of equations is directly linked to the number of chemical elements, while the variables are linked to the quantity of compounds. Therefore, the system is underdetermined, thus that either there are no solutions or there are infinite ones. In the previous case we already mentioned possible solutions hence there are infinite solutions that balance the chemical equation.

What would make the reaction proceed with different proportions in real life conditions? A given solution would be favored by the physicochemical conditions in which the reaction takes place. In more complex situations, some solutions will be "more correct" because they may describe correctly the true reaction by taking into account its mechanism.

$$$$

To avoid these chaotic situations, many chemical processes shan't be combined into a single equation. They must hold their independence to avoid ambiguities. Such simplifications may lead to quantitative errors. Similar expositions on the topic may be seen here or there. Not every chemical equation follows stoichiometry in real life reactions, be referenced to Cotton's Advanced Organic Chemistry where it talks about non molecular solids.

Enfrentando ecuaciones químicas con múltiples soluciones de balanceo

En extrañas ocasiones quizás se encontrará con alguna ecuación química que se podría balancear de más de una manera distinta. Donde hay distintas posibilidades para los coeficientes, obviando aquellos casos que son múltiplos de otras soluciones.

Obsérvese para efectos de estudio, el caso de la siguiente ecuación.

$$a*CrC{l}_3+b*KI+c*C{l}_2+d*KOH\to e*K_{2}Cr{O}_4+f*KI{O}_4+g*KC{l}_3+h*H_{2}O$$
$$\mathrm{<br>}$$ $$$$

Con un ligero muestreo, se podrían encontrar las siguientes maneras de balancearla.

$$2*CrC{l}_3+2*KI+11*C{l}_2+32*KOH\to 2*K_{2}Cr{O}_4+2*KI{O}_4+28*KC{l}_3+16*H_{2}O$$ $$8*CrC{l}_3+3*KI+24*C{l}_2+88*KOH\to 8*K_{2}Cr{O}_4+3*KI{O}_4+72*KC{l}_3+44*H_{2}O$$
$$\mathrm{<br>}$$

Ambas son matemáticamente correctas. ¿Serán químicamente correctas? Para ahondar en el tema, primero se explorará porqué es que se encontraron dos soluciones posibles. Se procede a expresar la ecuación química de manera algebraica, obteniendo una ecuación para cada elemento en la ecuación química, y tomando como variables los coeficientes a, b…h.

$$$$$$\mathrm{Cr:\; a}=e$$
$$\mathrm{Cl:\; 3}a+2c=g$$
$$\mathrm{K:\; b}+d=2e+f+g$$
$$\mathrm{I:\; b}=f$$
$$\mathrm{O:\; d}=4e+4f+h$$
$$\mathrm{H:\; d}=2h$$
$$\mathrm{<br>}$$

Obsérvese que la cantidad de ecuaciones está ligada a la cantidad de elementos químicos, y la de variables está relacionada con la cantidad de compuestos. Ante esta situación, se tiene un sistema infradeterminado, donde la cantidad de ecuaciones es menor a la cantidad de variables. En dichos sistemas, se puede dar que no haya ninguna solución, o bien que hayan infinitas soluciones. En el caso enunciado con anterioridad, ya se sabe de la existencia de soluciones, y por ende se concluye que hay soluciones infinitas para balancear la ecuación química.

¿Cuál es la justificación en el mundo real, para infinitas proporciones que pueden satisfacer la reacción? Una determinada solución se vería favorecida por las condiciones fisicoquímicas en las que se lleva a cabo la reacción. En casos más complejos, algunas soluciones serán “más correctas” por su afinidad describiendo el fenómeno real, si se tiene en cuenta el mecanismo de la reacción.

$$$$

Finalmente, para evitar casos tan caóticos como este, cabe resaltar que no se deberían combinar tantos procesos en una única ecuación química, sino mantener la independencia de cada una para evitar ambigüedades. Tales simplificaciones de procesos químicos pueden llevar a errores cuantitativos. Se pueden observar fenómenos similares aquí o allá… También vale la pena considerar que no toda ecuación química va a respetar la estequiometría en el mundo real, por ejemplo véase el capítulo de sólidos no moleculares en el libro Química Inorgánica Avanzada_Cotton.