Demuestre A ⊆ B ⇐⇒ ℘(A) ⊆ ℘(B)

Demuestre A ⊆ B ⇐⇒ ℘(A) ⊆ ℘(B) 

Demostración 

Por definición A ⊆ ℘(A) ∧ B ⊆ ℘(B)

Si A ⊆ B⇒ A ⊆ B ⊆ ℘(B)

⇒ A ⊆ ℘(B) 

SeaAk ⊆A
⇒Ak ⊆℘(B)

⇒ ℘(A) ⊆ ℘(B)

Ahora bien, si ℘(A) ⊆ ℘(B) 

⇒ A ⊆ ℘(A) ⊆ ℘(B)
⇒ A ⊆ ℘(B)
⇒A⊆B